Linearfaktorzerlegung von Polynomfunktionen

In der 10. Klasse lernt man, wie man Polynome dividiert.

Ab der 11. Klasse taucht genau dieses Rechenverfahren immer wieder auf, weil man damit Polynomfunktionen, die in Summenform gegeben sind....

... so weit wie möglich in Linearfaktoren (x-a) zerlegen kann.

In Kurzform geht das so:

• Klammere den Faktor vor der höchsten Potenz samt Vorzeichen aus:
  

  Außerdem musst Du zu Beginn die Variable x ausklammern, wenn sie in allen Summanden vorkommt. Das ist aber hier nicht der Fall. Beispielsweise wäre: f(x) = 3x⁴-6x² = 3 x² (x²-2)

• Suche eine beliebige Nullstelle des Polynoms, das Du zerlegen willst.

  Falls das Polynom Grad 2 hat (z.B.: x² - 4x + 1) lässt sich die bekannte Nullstellenformel verwenden, um Nullstellen zu finden!

  Bei Grad 3 oder höher hilft nur "Raten":
  Hierzu teste alle positven und negativen Teiler des so genannten konstanten Glieds...

  

  ...z.B.: Hier müsstest Du +1, -1, +2, -2, +4, -4 auf Nullstelle testen.

  Und tatsächlich ist x⁴+x³+2x-4 = 0 für x = 1!

• Sobald eine Nullstelle gefunden ist (z.B. bei x = 1) erfolgt eine Polynomdivision durch den zugehörigen Linearfaktor - hier: (x-1)

  

• Nach der Polynomdivision kannst Du von f(x) den ersten Linearfaktor abspalten:

  

• Das ganze Verfahren wiederholt sich ab jetzt ständig mit der noch nicht zerlegten Klammer (hier: x³+2x²+2x+4) - und zwar solange, bis entweder die Polynomfunktion komplett in lauter Linearfaktoren zerlegt ist oder bis es einfach keine weitere Nullstelle mehr gibt.

• In unserem Beispiel ergibt sich schließlich:

  

  Das Verfahren endet, weil (x²+2) keine Nullstelle mehr hat.

Übungsmaterial (Download)

m_train_polydiv.zip (18 KB)